備忘録：曲線（一）
2005年6月11日●サイクロイド（cycloid：擺線）
円C：x^2+(y-a)^2=a^2がx軸に沿って滑らずに転がる時の円上の定点Pの軌跡。Pは(0，0)を通過する。
x=aθ-asinθ
y=a-acosθ
で表される。
●ハイポサイクロイド（hypocycloid：内擺線）
円：x^2+y^2=1に内接する半径1/nの円Cが滑らずに転がる時の円上の定点Pの軌跡。
nx=(n-1)cosθ+cos(n-1)θ
ny=(n-1)sinθ-sin(n-1)θ
で表される。
n=3のときデルトイド（deltoid：三芒形）
n=4のときアステロイド（asteroid：星芒形）
⇒三角筋：deltoid muscle
⇒火星木星間の小惑星群：asteroid
●エピサイクロイド（epicycloid：外擺線）
円：x^2+y^2=1に外接する半径1/nの円Cが滑らずに転がる時の円上の定点Pの軌跡。
nx=(n+1)cosθ-cos(n+1)θ
ny=(n+1)sinθ-sin(n+1)θ
で表される。
n=1のときカージオイド（cardioid：心臓形）
n=2のときネフロイド（nephroid：腎臓形）
n=5のときラヌンクロイド（ranunculoid）
⇒心臓学：cardiology
⇒腎単位：nephron
●インボリュート（involute：伸開線）
円：x^2+y^2=a^2に巻きつけた糸を点(a，0)から弛まないように解く時の糸の先端Pの軌跡。
x=acosθ+aθsinθ
y=asinθ-aθcosθ
で表される。内擺線の伸開線はより大きな内擺線に、外擺線の伸開線はより小さな外擺線になる。カテナリーのインボリュートはtractrix（追跡線）と呼ばれる。
●カテナリー（catenary：懸垂線）
一様な綱の両端を固定したときの弛み。双曲線余弦を用いて、
y=acosh(x/a)
で表される。尚、coshx=(e^x+e^(-x))/2。ガリレイはカテナリーが放物線だと考えたが、別物。
円C：x^2+(y-a)^2=a^2がx軸に沿って滑らずに転がる時の円上の定点Pの軌跡。Pは(0，0)を通過する。
x=aθ-asinθ
y=a-acosθ
で表される。
∵ OP=OC-PC
OC=(aθ，a) ， PC=(asinθ，acosθ)
●ハイポサイクロイド（hypocycloid：内擺線）
円：x^2+y^2=1に内接する半径1/nの円Cが滑らずに転がる時の円上の定点Pの軌跡。
nx=(n-1)cosθ+cos(n-1)θ
ny=(n-1)sinθ-sin(n-1)θ
で表される。
n=3のときデルトイド（deltoid：三芒形）
n=4のときアステロイド（asteroid：星芒形）
⇒三角筋：deltoid muscle
⇒火星木星間の小惑星群：asteroid
●エピサイクロイド（epicycloid：外擺線）
円：x^2+y^2=1に外接する半径1/nの円Cが滑らずに転がる時の円上の定点Pの軌跡。
nx=(n+1)cosθ-cos(n+1)θ
ny=(n+1)sinθ-sin(n+1)θ
で表される。
n=1のときカージオイド（cardioid：心臓形）
n=2のときネフロイド（nephroid：腎臓形）
n=5のときラヌンクロイド（ranunculoid）
⇒心臓学：cardiology
⇒腎単位：nephron
●インボリュート（involute：伸開線）
円：x^2+y^2=a^2に巻きつけた糸を点(a，0)から弛まないように解く時の糸の先端Pの軌跡。
x=acosθ+aθsinθ
y=asinθ-aθcosθ
で表される。内擺線の伸開線はより大きな内擺線に、外擺線の伸開線はより小さな外擺線になる。カテナリーのインボリュートはtractrix（追跡線）と呼ばれる。
●カテナリー（catenary：懸垂線）
一様な綱の両端を固定したときの弛み。双曲線余弦を用いて、
y=acosh(x/a)
で表される。尚、coshx=(e^x+e^(-x))/2。ガリレイはカテナリーが放物線だと考えたが、別物。
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